Jmarti传输线→相域频率相关线参数转换
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Jmarti模型→相域模型参数转换
- Jmarti模型说明
参考《J. Marti, “Accurate Modelling of Frequency-Dependent Transmission Lines in Electromagnetic Transient Simulations,” IEEE Trans. Power Appar. Syst., vol. PAS-101, no. 1, pp. 147–157, Jan. 1982, doi: 10.1109/TPAS.1982.317332.》文献,Jmarti模型建模方法如下:
其中,两侧阻抗表示如下,其中ko,ki,pi参数会在adpss等软件中提供:
在Jmarti模型中,阻抗网络会被建模成RC并联回路串联的形式。
其中:
对于注入电流源方面,Jmarti本质上是构建了电压的传递关系,将用Forward和Backward表示。
最终,电压表示为:
此外,值得一提的是ADPSS中,Jmarti模型是以模态形式呈现的,且相模转换矩阵是常数矩阵。也就是说,对于3个导体的传输线,Jmarti模型的Zeq和传递函数A都可以看作是模域下的3维的对角阵。
而相域模型没有这样的要求,输入参数可以是3*3的相域矩阵。
- 戴维南等值→诺顿等值的转换
Jmarti模型每一侧可表述为戴维南等值模型:
Vhistk(t)=∫t−τ0[vm(u)+Zeqim(u)]a1(t−u)duZeq(s)=k0+n∑i=1kis+pi
其中a1为电压电流信号传输矩阵,这里是卷积计算。
戴维南等值模型和诺顿等值模型应完全等价
Ihistk(t)=1Zeq∫t−τ0[vm(u)+Zeqim(u)]a1(t−u)du=∫t−τ0[vm(u)Zeq+im(u)]a1(t−u)duGeq=Zeq−1
从频域上来说,电流的式子应该写成
Ihistk(s)=1Zeq(s)[vm(s)+Zeq(s)im(s)]a1(s)=[vm(s)Zeq(s)+im(s)]a1(s)=[im(s)+Geq(s)vm(s)]a1(s)
即:
Ihistk(t)=∫t−τ0[Geqvm(u)+im(u)]a1(t−u)du
可以注意到传输矩阵无需转换,可以复用。
- Zeq→Geq的转换
我们这里先考虑一相的场景。
如何将Zeq(s)=k0+n∑i=1kis−pi转换成Geq(s)=g0+n∑i=1gis−qi是关键问题,本质上就是求Zeq的零点。可以将Zeq(s)写成传递函数矩阵形式:
sX(s)=PX(s)+Ku(s)
y(s)=CX(s)+k0u(s)
P=[p1pipn]
K=[k1kikn]
C=[1⋯1]
y(s)=[C(sI−P)−1K+k0]u(s)
对应的,写出Geq的传递函数矩阵(输入y(s),输出u(s))
sX(s)=(P−KCk0)X(s)+1k0y(s)u(s)=−Ck0X(s)+1k0y(s)u(s)=[1k0−Ck02(sI−P+KCk0)−1]y(s)
现在要求这个传递函数矩阵的极点,也就是矩阵(P−KCk0)的特征值即可。可调用python的np.linalg.eigvals库函数来求解。
Q=eig(P−KCk0)
下一步就是计算留数gi了,这里采用留数定理:
gi=lim
- 模态→相域转换
以上都是在单相条件下推导,不过对于Jmarti模型,都是考虑各个模态独立的,以直流模型(2个导体)为例,ADPSS中的Jmarti模型参数定义如下:
ADPSS中还要求输入相模变换矩阵。
注意到给的阻抗和传输矩阵的数据都是2维的,每一维分别给一些极点和留数,所以可认为其模态阻抗和传输矩阵就是对角阵,可直接通过相模变换矩阵反变换到相域下。
- 测试
构建了送端±800kV,受端接10pu电阻的测试算例。正极叠加1Hz,160kV的电压跌落,负极叠加2Hz,80kV的正弦电压。
输出部分对比结果