Jmarti传输线→相域频率相关线参数转换

Jmarti模型→相域模型参数转换

• Jmarti模型说明

参考《J. Marti, “Accurate Modelling of Frequency-Dependent Transmission Lines in Electromagnetic Transient Simulations,” IEEE Trans. Power Appar. Syst., vol. PAS-101, no. 1, pp. 147–157, Jan. 1982, doi: 10.1109/TPAS.1982.317332.》文献，Jmarti模型建模方法如下：

其中，两侧阻抗表示如下，其中ko,ki,pi参数会在adpss等软件中提供：

在Jmarti模型中，阻抗网络会被建模成RC并联回路串联的形式。

其中：

对于注入电流源方面，Jmarti本质上是构建了电压的传递关系，将用Forward和Backward表示。

最终，电压表示为：

此外，值得一提的是ADPSS中，Jmarti模型是以模态形式呈现的，且相模转换矩阵是常数矩阵。也就是说，对于3个导体的传输线，Jmarti模型的Zeq和传递函数A都可以看作是模域下的3维的对角阵。

而相域模型没有这样的要求，输入参数可以是3*3的相域矩阵。

• 戴维南等值→诺顿等值的转换

Jmarti模型每一侧可表述为戴维南等值模型：

\[
\begin{align}
& V_{k}^{hist}(t)=\int_{0}^{t-\tau }{\left[ {{v}_{m}}(u)+{{Z}_{eq}}{{i}_{m}}(u) \right]}{{a}_{1}}(t-u)du \\
& {{Z}_{eq}}(s)={{k}_{0}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{k}_{i}}}{s+{{p}_{i}}}} \\
\end{align}
\]

其中a₁为电压电流信号传输矩阵，这里是卷积计算。

戴维南等值模型和诺顿等值模型应完全等价

\[\begin{align}
& I_{k}^{hist}(t)=\frac{1}{{{Z}_{eq}}}\int_{0}^{t-\tau }{\left[ {{v}_{m}}(u)+{{Z}_{eq}}{{i}_{m}}(u) \right]}{{a}_{1}}(t-u)du \\
& =\int_{0}^{t-\tau }{\left[ \frac{{{v}_{m}}(u)}{{{Z}_{eq}}}+{{i}_{m}}(u) \right]}{{a}_{1}}(t-u)du \\
& {{G}_{eq}}={{Z}_{eq}}^{-1}
\end{align}\]

从频域上来说，电流的式子应该写成
\[
\begin{align}
& I_{k}^{hist}(s)=\frac{1}{{{Z}_{eq}}\left( s \right)}\left[ {{v}_{m}}(s)+{{Z}_{eq}}\left( s \right){{i}_{m}}(s) \right]{{a}_{1}}\left( s \right) \\
& =\left[ \frac{{{v}_{m}}(s)}{{{Z}_{eq}}\left( s \right)}+{{i}_{m}}(s) \right]{{a}_{1}}\left( s \right) \\
& =\left[ {{i}_{m}}(s)+{{G}_{eq}}\left( s \right){{v}_{m}}(s) \right]{{a}_{1}}\left( s \right)
\end{align}
\]

即：

\[
I_{k}^{hist}(t)=\int_{0}^{t-\tau }{\left[ {{G}_{eq}}{{v}_{m}}(u)+{{i}_{m}}(u) \right]}{{a}_{1}}(t-u)du
\]

可以注意到传输矩阵无需转换，可以复用。

• Zeq→Geq的转换

我们这里先考虑一相的场景。

如何将[math]{{Z}_{eq}}(s)={{k}_{0}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{k}_{i}}}{s-{{p}_{i}}}}[/math]转换成[math]{{G}_{eq}}(s)={{g}_{0}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{g}_{i}}}{s-{{q}_{i}}}}[/math]是关键问题，本质上就是求Z_eq的零点。可以将Zeq(s)写成传递函数矩阵形式：

\[
sX\left( s \right)=PX\left( s \right)+Ku\left( s \right)
\]

\[
y\left( s \right)=CX\left( s \right)+{{k}_{0}}u\left( s \right)
\]

\[
P=\left[ \begin{matrix}
{{p}_{1}} & {} & {} \\
{} & {{p}_{i}} & {} \\
{} & {} & {{p}_{n}} \\
\end{matrix} \right]
\]

\[
K=\left[ \begin{align}
& {{k}_{1}} \\
& {{k}_{i}} \\
& {{k}_{n}} \\
\end{align} \right]
\]

\[
C=\left[ \begin{matrix}
1 & \cdots & 1 \\
\end{matrix} \right]
\]

\[
y\left( s \right)=\left[ C{{\left( s\mathbf{I}-\mathbf{P} \right)}^{-1}}K+{{k}_{0}} \right]u\left( s \right)
\]

对应的，写出G_eq的传递函数矩阵（输入y(s)，输出u(s)）

\[
\begin{align}
& sX\left( s \right)=\left( P-\frac{KC}{{{k}_{0}}} \right)X\left( s \right)+\frac{1}{{{k}_{0}}}y\left( s \right) \\
& u\left( s \right)=-\frac{C}{{{k}_{0}}}X\left( s \right)+\frac{1}{{{k}_{0}}}y\left( s \right) \\
& u\left( s \right)=\left[ \frac{1}{{{k}_{0}}}-\frac{C}{{{k}_{0}}^{2}}{{\left( s\mathbf{I}-P+\frac{KC}{{{k}_{0}}} \right)}^{-1}} \right]y\left( s \right) \\
\end{align}
\]

现在要求这个传递函数矩阵的极点，也就是矩阵[math]\left( P-\frac{KC}{{{k}_{0}}} \right)[/math]的特征值即可。可调用python的np.linalg.eigvals库函数来求解。

\[
Q=eig\left( P-\frac{KC}{{{k}_{0}}} \right)
\]

下一步就是计算留数g_i了，这里采用留数定理：

\[
{{g}_{i}}=\underset{s\to {{q}_{i}}}{\mathop{\lim }}\,\left( s-{{q}_{i}} \right){{G}_{eq}}\left( s \right)=\underset{s\to {{q}_{i}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( s-{{q}_{i}} \right)}{\frac{\prod\nolimits_{1}^{n}{\left( s-{{q}_{i}} \right)}}{\prod\nolimits_{1}^{n}{\left( s-{{p}_{i}} \right)}}}=\frac{\prod\nolimits_{1}^{n}{\left( {{q}_{i}}-{{p}_{i}} \right)}}{\prod\nolimits_{j\ne i}{\left( {{q}_{i}}-{{q}_{j}} \right)}}
\]

• 模态→相域转换

以上都是在单相条件下推导，不过对于Jmarti模型，都是考虑各个模态独立的，以直流模型（2个导体）为例，ADPSS中的Jmarti模型参数定义如下：

ADPSS中还要求输入相模变换矩阵。

注意到给的阻抗和传输矩阵的数据都是2维的，每一维分别给一些极点和留数，所以可认为其模态阻抗和传输矩阵就是对角阵，可直接通过相模变换矩阵反变换到相域下。

• 测试

构建了送端±800kV，受端接10pu电阻的测试算例。正极叠加1Hz，160kV的电压跌落，负极叠加2Hz,80kV的正弦电压。

输出部分对比结果